Un recorrido, a pasos agigantados, por la historia de la geometría nos muestra su vitalidad y la coexistencia de ambos polos. En sus orígenes, que se remontan a las comunidades más primitivas, la geometría se liga al deseo de nuestros antepasados de representar el mundo circundante, decorar sus pertenencias, diseñar motivos ornamentales, construir sus viviendas, etcétera. De actividades como estas, surgen los primeros diseños geométricos, el encanto por la simetría y la regularidad de las formas. Los aspectos visuales de la geometría predominan, pero surgen organizaciones invariantes que no pueden atribuirse únicamente a una representación de la realidad: son los embriones del punto de vista teórico. En una fase posterior, con la expansión de los grupos humanos y el surgimiento de importantes civilizaciones como la china, india, egipcia, griega, maya y azteca, se busca mejorar la organización de la vida social. Durante ese periodo, la geometría contribuye a resolver problemas prácticos como la medición de longitudes, áreas y volúmenes, o el trazo de linderos en la tierra. Además, desempeña un papel instrumental para el desarrollo de la arquitectura, la geografía y la astronomía. Incluso, en esta fase, se identifican intentos iniciales de racionalización del conocimiento geométrico adquirido, al menos localmente. Prueba de ellos son los documentos en donde es posible encontrar fórmulas para el área de figuras planas o volúmenes de sólidos.
Con los griegos, la geometría avanza hacia la constitución de una disciplina científica, por el interés de fundamentar teórica y deductivamente el conocimiento geométrico. La obra cumbre, Elementos, escrita por Euclides hacia el año 300 a.C.,recoge una excelente sistematización de estos desarrollos que continúa con los trabajos de Apolonio,Arquímedes y Tolomeo.La geometría comienza a ser vista como un sistema axiomático de carácter deductivo. Debido a la perfección del tratado de Euclides, su libro se convierte en modelo de sistematización racional en muchos campos del conocimiento y, por casi dos mil años, el conocimiento geométrico se subordina al esquema euclidiano. Aunque este tratado fue un esfuerzo importante de racionalización y de imprimirle un carácter abstracto a la geometría, contiene muchos elementos de intuición y percepción. Para señalar solo un ejemplo, el concepto de congruencia de figuras en la geometría euclidiana se basa en la posibilidad de superposición, lo que es un hecho perceptivo.
En el Renacimiento surge la geometría proyectiva, gracias a artistas de la talla de Leonardo da Vinci, interesados en métodos pictóricos de representación en perspectiva. En el siglo XVII, lo que inicialmente era un recurso estético se convierte en la base de una nueva geometría, analítica, que combina métodos algebraicos con descripciones sintéticas de formas y transformaciones. Y en el siglo XVIII, debido al estudio sistemático realizado por Mongue, sobre los métodos de representación de objetos tridimensionales, surge la geometría descriptiva. Estas áreas de la geometría combinan todos los aspectos visuales y conceptuales del conocimiento.
El desarrollo de las geometrías no euclidianas contribuye a estimular, en el siglo XIX, nuevas líneas de investigación como el programa desarrollado por Felix Klein, quien describe la geometría como el estudio de las propiedades geométricas que permanecen invariantes bajo varios grupos de transformaciones; el estudio de Dedekind, Cantor y Weirstrass sobre aspectos algebraicos de la disciplina, en donde se hizo una construcción rigurosa de la teoría de números, y el estudio realizado por Hilbert sobre los fundamentos de la geometría. Estos trabajos mostraron un nuevo punto de vista de la geometría, caracterizado por un alto nivel de abstracción y la pérdida de relaciones de la geometría con la realidad perceptible. Surgen objetos geométricos completamente ajenos a la experiencia sensorial como las estructuras abstractas de dimensiones arbitrariamente grandes y las líneas que cubren el plano, entre otras. Esta tendencia llega a su punto culminante con los trabajos del grupo Bourbaki, cuyos escritos tienen gran influencia entre los matemáticos y conducen al llamado movimiento de reforma de las matemáticas modernas, con su famoso eslogan "abajo Euclides". Sin embargo, aunque en algún momento se creyó posible alcanzar el ideal de liberar las matemáticas de toda huella intuitiva o empírica y darles una fundamentación racional absoluta,los trabajos de Goedel mostraron la imposibilidad del mismo, y la necesidad de aceptar siempre una base intuitiva (no racional) de la actividad matemática. Por otra parte, los avances en psicología y epistemología reforzaron el punto de vista según el cual el origen de los conceptos matemáticos no es la racionalidad pura, sino un proceso que parte de los esquemas de acción innatos,que se van complejizando por la interacción con el mundo hasta desarrollar modelos mentales racionales. Por estas razones, si en algún momento se rechazó la enseñanza de la geometría euclidiana y se la subordinó a un capítulo del álgebra vectorial, hoy en día se reconoce la necesidad de trabajar la geometría desde el polo empírico como base fundamental para la construcción del polo teórico.
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